Question

2011年上半年，黄冈大别山地区某市某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落，经市场调研发现，1月份至12月份，该农产品的月平均价格y（元/千克）与月份x之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上；该图象从左至右，依次是线段AB、曲线BC，其中曲线BC为抛物线的一部分，已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．
（1）求该农产品的月平均价格y（元/千克）与月份x之间的函数关系式？
（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？

Answer

（1）根据函数图象，函数解析式分为两段，当1≤x≤7时，为一次函数解析式，当7≤x≤12时，为二次函数解析式，分别设一次函数、二次函数解析式，根据图象上的点，分别求解析式；
（2）由图象可知一次函数最小值为8，用配方法求二次函数的顶点式，得出二次函数的最小值，比较最小值即可；
（3）由一次函数可知，以x=4时的月平均价格17代表前7个月的平均值，再根据二次函数解析式，分别求出后5个月的月的平均值，再求年平均价格，把那个月的月平均价格与年平均价格进行比较即可．
【解析】
（1）当1≤x≤7时，设y=kx+m．
将点（1，8）、（7，26）分别代入y=kx+m，
得
解之，得
∴函数解析式为y=3x+5；
当7≤x≤12时，设y=ax2+bx+c（a≠0）．
将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入y=ax2+bx+c，
得：
解之，得
∴函数解析式为y=x2-22x+131．
故该农产品的月平均价格y（元/千克）与月份x之间的函数关系式为：
；

（2）当1≤x≤7时，函数y=3x+5中y随x的增大而增大，
∴当x最小值=1时，y最小值=3×1+5=8．
当7≤x≤12时，y=x2-22x+131=（x-11）2+10，
∴当x=11时，y最小值=10．
所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克．

（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，
∴x=4时的月平均价格17是前7个月的平均值．
将x=8，x=10和x=11分别代入y=x2-22x+131，得y=19，y=11和y=10．
∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11．
∴年平均价格为（元/千克）．
当x=3时，y=14＜15.3．
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格．