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如图,已知抛物线的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴...

如图,已知抛物线manfen5.com 满分网的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B运动,过M作x轴的垂线,交抛物线于点P,交BC于Q.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)设当点M运动了x(秒)时,四边形OBPC的面积为S,求S与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在,
求出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(4)在抛物线上是否存在点P,使得△MBQ与△CPQ相似?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.

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(1)已知抛物线解析式,令y=0,x=0,可求B、C两点坐标; (2)设点P的坐标为P(x,y),由S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB可列出S与x的函数关系式,由于B(3,0),得出0≤x≤3; (3)根据BQ为一腰,有两种可能:①BQ=DQ,②BQ=BD=2,都可由相似三角形的对应边的比,求出OM、MQ的长; (4)根据当△MBQ∽△PCQ以及当△MBQ∽△CPQ,分别进行计算得出P点坐标即可. 【解析】 (1)把x=0代入y=-x2+x+2得点C的坐标为C(0,2), 把y=0代入y=-x2+x+2得点B的坐标为B(3,0); (2)如图1,连接OP,设点P的坐标为P(x,y) S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB=×2×x+×3×y, =x+(-x2+x+2), =-x2+3x+3, ∵点M运动到B点上停止, ∴0≤x≤3, ∴S=-(x-)2+(0≤x≤3); (3)存在. ∵BC==, ①如图2,若BQ=DQ, ∵BQ=DQ,BD=2,∴BM=1, ∴OM=3-1=2, ∴tan∠OBC===, ∴QM=, 所以Q的坐标为Q(2,). ②如图3,若BQ=BD=2, ∵QM∥CO, ∴△BQM∽△BCO, ∴==, ∴=, ∴QM=, ∵=, ∴=, ∴BM=, ∴OM=3-, ∴Q点的坐标为:(3-,); (4)如图4,当△MBQ∽△PCQ, 则∠BMQ=∠QPC=90°, 此时PC∥AB, 故P点纵坐标为:2,代入二次函数解析式,即可得出: 2=-x2+x+2, 解得:x=0或2, 故P点坐标为:(2,2), 当△MBQ∽△CPQ, 则∠PCQ=∠BMQ=90°, 即PC⊥BC, ∵C点坐标为:(0,2),B点坐标为:(3,0), 设直线BC的解析式为:y=kx+b, 则, 解得:k=-, 则直线BC的解析式为:y=-x+2, 故与直线BC垂直且过C点的直线EF解析式为:y=x+2, 将y=x+2与y=-x2+x+2联立得: x+2=-x2+x+2, 解得:x=0或-, 则y=2或, 当x=-时,P点在第2象限,故此时不符合题意, 综上所述,抛物线上存在点P,使得△MBQ∽△PCQ,此时P点坐标为:(2,2).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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