Question

如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，
求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）在抛物线上是否存在点P，使得△MBQ与△CPQ相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）已知抛物线解析式，令y=0，x=0，可求B、C两点坐标；
（2）设点P的坐标为P（x，y），由S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB可列出S与x的函数关系式，由于B（3，0），得出0≤x≤3；
（3）根据BQ为一腰，有两种可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的对应边的比，求出OM、MQ的长；
（4）根据当△MBQ∽△PCQ以及当△MBQ∽△CPQ，分别进行计算得出P点坐标即可．
【解析】
（1）把x=0代入y=-x2+x+2得点C的坐标为C（0，2），
把y=0代入y=-x2+x+2得点B的坐标为B（3，0）；

（2）如图1，连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S四边形OBPC=S△OPC+S△OPB=×2×x+×3×y，
=x+（-x2+x+2），
=-x2+3x+3，
∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤3，
∴S=-（x-）2+（0≤x≤3）；

（3）存在．
∵BC==，
①如图2，若BQ=DQ，
∵BQ=DQ，BD=2，∴BM=1，
∴OM=3-1=2，
∴tan∠OBC===，
∴QM=，
所以Q的坐标为Q（2，）．
②如图3，若BQ=BD=2，
∵QM∥CO，
∴△BQM∽△BCO，
∴==，
∴=，
∴QM=，
∵=，
∴=，
∴BM=，
∴OM=3-，
∴Q点的坐标为：（3-，）；

（4）如图4，当△MBQ∽△PCQ，
则∠BMQ=∠QPC=90°，
此时PC∥AB，
故P点纵坐标为：2，代入二次函数解析式，即可得出：
2=-x2+x+2，
解得：x=0或2，
故P点坐标为：（2，2），
当△MBQ∽△CPQ，
则∠PCQ=∠BMQ=90°，
即PC⊥BC，
∵C点坐标为：（0，2），B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：k=-，
则直线BC的解析式为：y=-x+2，
故与直线BC垂直且过C点的直线EF解析式为：y=x+2，
将y=x+2与y=-x2+x+2联立得：
x+2=-x2+x+2，
解得：x=0或-，
则y=2或，
当x=-时，P点在第2象限，故此时不符合题意，
综上所述，抛物线上存在点P，使得△MBQ∽△PCQ，此时P点坐标为：（2，2）．