Question

如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C、平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）要求C点的坐标，应先根据题意得出直线AB的方程，再与y=联立，得出的交点的坐标即为C点的坐标．而t的取值范围的最大值只要用C点横坐标除以1即可．
（2）解此题时可设D、E两点的横坐标为t，再根据l与AB、y=两条直线相交即可得出D、E关于t的坐标．再根据等边三角形各个角均为60°，做DE边上的高，运用勾股定理即可得出高的长度（关于t）．再分别讨论t的取值，画出图形，代入各自对应的面积公式，化简后即可得出S关于t的方程．
（3）要使△FOP为等腰三角形，则腰只能是OF、FP，由此只要设出P、F两点的坐标，根据两点之间的坐标公式，得出关于t的代数式，令OF=FP，结合t的取值，即可得出答案．
【解析】
（1）设AB的解析式为y=kx+b，
把A（8，0）、B（0，）分别代入解析式得，
，
解得k=-，
则函数解析式为y=-x+8．
将y=-x+8和y=x组成方程组得，
，
解得．
故得C（4，），
∵OA=8，
∴t的取值范围是：0≤t≤4；

（2）作EM⊥y轴于M，DG⊥y轴于点G，
∵D点的坐标是（t，），E的坐标是（t，）
∴DE=-=；
∴等边△DEF的DE边上的高为：DE=12-3t；
根据E点的坐标（t，），以及∠MNE=60°，
故ME=t，MN=tan30°ME=t，
同理可得：GH=t，
∴可求梯形上底为：-，
∴当点F在BO边上时：12-3t=t，
∴t=3，
当0≤t＜3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形面积为：
S=
=
=；
当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形
S=
=；

（3）存在，P（，0）；
说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4，
∴以P，O，F为顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP，
若FO=FP时，t=2（12-3t），
解得：t=，
∴P（，0）．