Question

已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（2）求使的值为整数的实数k的整数值．

Answer

（1）把（2x1-x2）（xl-2x2）=，即2（x1+x2）2-9x1x2=-1.5，根据一元二次方程根与系数的关系求得方程两根的和与两根的积代入即可得到关于k的方程，即可求得k的值，然后判断是否满足即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得=4-，根据的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值．
【解析】
（1）根据题意，得
△=（-4k）2-4×4k（k+1）=-16k≥0．
解得k≤0．
又∵k≠0，∴k＜0．
由（2x1-x2）（xl-2x2）=得
2（x12+x22）-5x1x2=-1.5．
2（x1+x2）2-9x1x2=-1.5．
2-9×=-1.5
18k+18=28k，
解得k=1.8．
经检验k=1.8是方程-=-1.5的解．
∵k＜0，∴不存在实数k．
（2）原式=-2=-2=-4=-4，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5．