Question

如图，点A在x轴的负半轴上，OA=4，AB=OB=，将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A₁B₁O，再继续旋转90°，得到△A₂B₂O，抛物线y=ax²+bx+3经过B、B₁两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B₂是否在此抛物线上，请说明理由；
（3）在该抛物线上找一点P，使得△PBB₂是以BB₂为底的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．点P的坐标是______．

Answer

（1）可先求出B点的坐标，根据旋转的性质不难得出B1的横坐标的就是B点的纵坐标，而B1的纵坐标就是B的横坐标的绝对值，由此可求出B1的坐标，同理可求出B2的坐标，然后将这B、B1点的坐标代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式．
（2）根据（1）求出的B2和抛物线的解析式即可判断出B2是否在抛物线上．
（3）已知了等腰三角形是以BB2为底，因此P点必为BB2的垂直平分线与抛物线的交点，可先求出BB2的垂直平分线的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出符合条件的P点的坐标．
【解析】
（1）过点B作BE⊥OA于点E，
∵AB=OB=，
∴OE=OA=2，
∴BE==1，
∴B（-2，1），
由旋转的性质可得：B1坐标为（1，2），B2坐标为：（2，-1），
∵抛物线y=ax2+bx+3经过B、B1两点，
∴，
解得：．
即抛物线的解析式为y=-x2-x+3．
（2）当x=2时，y=-×22-×2+3=-≠-1，
故点B2（2，-1）不在此抛物线上．
（3）点P应在线段BB2的垂直平分线上，由题意可知，OB1⊥BB2且平分BB2，
∴点P在直线OB1上．
可求得OB1所在直线的解析式为y=2x，
又点P是直线y=2x与抛物线y=-x2-x+3的交点，
故可得，
解得：，；
故符合条件的点P有两个，P1（1，2），P2（-，-9）．