Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）三角形APQ中，底边AQ的长易知，关键是求P点纵坐标的值；过P作PM⊥OA于M，通过构建的相似三角形得出的成比例线段，可求出PM的长．进而可根据三角形的面积公式求出y，t的函数关系式．
（3）可用分析法求解．先假设存在这样的t值，由于此时PQ将三角形ABO的周长平分，因此BP+BO+OQ=AP+AQ，据此可求出t的值，然后将t的值，代入（2）的函数关系式中，看此时三角形APQ的面积是否等于三角形AOB的面积的一半即可．
（4）如果四边形OPQP′是菱形，那么需要满足的条件是OP=PQ，那么PM垂直平分OQ，此时QM=OQ，可借助OA的长来求t的值．过P作PN⊥OB于N，那么三角形BNP和三角形BOA相似，可求得PN的表达式，也就求出了QM，MO的表达式，可根据OA=OM+QM+AQ来求出此时t的值．进而可求出菱形的边长．
【解析】
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解得，
∴直线AB的解析式是y=-x+3．

（2）在Rt△AOB中，AB==5，
依题意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，
过点P作PM⊥AO于M，
∵△APM∽△ABO，
∴，
∴，
∴PM=3-t，
∴y=AQ•PM=•2t•（3-t）=-t2+3t．

（3）不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分，
若PQ把△AOB周长平分，则AP+AQ=BP+BO+OQ，
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），
解得t=1．
若PQ把△AOB面积平分，则S△APQ=S△AOB，
∴-t2+3t=3，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在某一时刻t，使线段PQ把△AOB的周长和面积同时平分．

（4）存在某一时刻t，使四边形PQP'O为菱形，
过点P作PN⊥BO于N，
若四边形PQP′O是菱形，则有PQ=PO，
∵PM⊥AO于M，
∴QM=OM，
∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，
∴，
∴，
∴PN=t，
∴QM=OM=t，
∴t+t+2t=4，
∴t=，
∴当t=时，四边形PQP′O是菱形，
∴OQ=4-2t=，
∴点Q的坐标是（，0）．
∵PM=3-t=，OM=t=，
在Rt△PMO中，PO===，
∴菱形PQP′O的边长为．