Question

如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积，然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂B₂C₂，作出了第二个正三角形△A₂B₂C₂，算出第2个正△A₂B₂C₂的面积，用同样的方法作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出第3个正△A₃B₃C₃的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A_nB_nC_n的面积是    ．

Answer

过A1作A1D⊥B1C1于D，求出高A1D，求出△A1B1C1的面积，根据三角形的中位线求出B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，推出△A2B2C2∽△A1B1C1，得出=同理△A3B3C3∽△A2B2C2，推出=得出规律=，代入求出即可．
【解析】
过A1作A1D⊥B1C1于D，
∵等边三角形A1B1C1，
∴B1D=，
由勾股定理得：A1D=，
∴△A1B1C1的面积是×1×=，
∵C2、B2、A2分别是A1B1、A1C1、B1C1的中点，
∴B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，
即===，
∴△A2B2C2∽△A1B1C1，且面积比是1：4，=
同理△A3B3C3∽△A2B2C2，且面积比是1：4，=
…
∴==×=
故答案为：．