Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是BC上一点，以点O圆心，OC为半径的圆交BC于点D，恰好与AB相切于点E．
（1）求证：AO是∠BAC的平分线；
（2）若BD=1cm，BE=3cm，求sinB及AC的长．

Answer

（1）由∠ACB=90°，且OC为圆O的半径，判断得到AC与圆O相切，又AB与圆O相切，根据切线长定理得到AO为∠BAC的平分线，且AE=AC；
（2）由BE为圆O的切线，BC为圆O的割线，利用切割线定理列出关系式，将BD及BE的长代入，求出BC的长，用BC-BD求出直径CD的长，进而确定出圆O的半径，由OD+BD求出OB的长，连接OE，由切线的性质得到OE垂直于BE，在直角三角形OEB中，利用锐角三角函数定义求出sinB的值，同时由OB及OE的长，利用勾股定理求出BE的长，由∠ACB=90°，OC为圆O的半径，可得出AC为圆O的切线，由AE与AC都为圆的切线，根据切线长定理得到AE=AC，设AC=AE=xcm，由AE+EB表示出AB，再由BC及AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长．
【解析】
（1）∵∠OCA=90°，OC为圆O的半径，
∴AC为圆O的切线，又AB与圆O相切，E为切点，
∴AE=AC，AO平分∠BAC；

（2）∵BE为圆O的切线，BC为圆O的割线，
∴BE2=BD•BC=BD（BD+DC），又BD=1cm，BE=3cm，
∴32=1+DC，即DC=8cm，
∴OE=OD=4cm，
连接OE，由BE为圆O的切线，得到OE⊥EB，
在直角三角形BEO中，OE=4cm，OB=BD+OD=1+4=5cm，
∴sinB==，BE==3cm，
在直角三角形ABC中，设AE=AC=xcm，则AB=AE+EB=（x+3）cm，
BC=BD+DC=9cm，
根据勾股定理得：AB2=AC2+BC2，即（x+3）2=x2+92，
解得：x=12，
则AC=12cm．