Question

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ABC的平分线BE交AB边上的中线CD于点H，交AC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接AF交BE的延长线于点G，连接GD．下列结论：①∠F=60°；②GD∥CB；③GH=HB；④∠CEH=∠CHE；⑤S_△BCE：S_△BEA=1：．
其中正确的结论有（ ）

A．①③
B．②④
C．①③⑤
D．②④⑤

Answer

①证明△ACF≌△BCE，得∠F=∠BEC=67.5°；
②证明BG⊥AF，从而证明G为AF的中点，根据三角形中位线定理得GD∥CB；
③根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得GD=BD．因CD不与GB垂直，故GH≠HB；
④∠CEH=∠CHE=67.5°；
⑤AB=BC．根据角平分线的性质判断．
【解析】
在△ACF和△BCE中，
∵，
∴△ACF≌△BCE．
①∠F=∠BEC=90°-22.5°=67.5°．故错误；
②∵∠F=67.5°，∠FBG=22.5°，
∴∠FGB=90°，即BG⊥AF．
∵BG平分角FBA，
∴△ABG≌△FBG．
∴AG=FG．
又D为AB中点，
∴GD∥CB．故正确；
③∵GD=AB=DB，
∴△GDB为等腰三角形．
∵CD⊥AB，不与GB垂直，
∴GH≠HB．故错误；
④∠CEH=90°-22.5°=67.5°，
∠CHE=45°+22.5°=67.5°，
∴∠CEH=∠CHE．故正确；
⑤∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC，
∴AB=BC．
∵BE平分∠ABC，
∴BC：BA=CE：EA=S△BCE：S△ABE=1：．
故正确．
故选D．