Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）在Rt△ODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）易知△AOD是等腰Rt△，若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，那么△PQM也必须是等腰Rt△；由于∠QPM≠90°，因此本题分两种情况：
①PQ为斜边，M为直角顶点；②PM为斜边，Q为直角顶点；
首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在①中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；
（3）①若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；
②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MN∥PQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可．
【解析】
（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC，
由射影定理，得：OD2=OB•OC；
则OB==1；
∴B（-1，0）；
∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：
a（0+1）（0-4）=4，a=-1；
∴y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4；

（2）因为A（-2，0），D（0，2）；
所以直线AD：y=x+2；
联立，解得F（1-，3-），G（1+，3+）；
设P点坐标为（x，x+2）（1-＜x＜1+），则Q（x，-x2+3x+4）；
∴PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2；
易知M（，），
若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形；
①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|xM-xP|，即：
-x2+2x+2=2（-x），
解得x=2-，x=2+（不合题意舍去）
∴P（2-，4-）；
②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|xM-xQ|，
即：-x2+2x+2=-x，
解得x=，x=（不合题意舍去）
∴P（，）
故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2-，4-）或（，）；

（3）易知N（，），M（，）；
设P点坐标为（m，m+2），
则Q（m，-m2+3m+4）；（1-＜m＜1+）
∴PQ=-m2+2m+2，NM=；
①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：
MN=PQ，
即：-m2+2m+2=，
解得m=，m=（舍去）；
当m=时，P（，），Q（，）
此时PM=≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；
②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，
所以若四边形PMNQ是等腰梯形，只有一种情况：PQ∥MN；
依题意，则有：（yN+yM）=（yP+yQ），
即+=-m2+3m+4+m+2，
解得m=，m=（舍去）；
当m=时，P（，），Q（，），此时NQ与MP不平行，
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（，）．