Question

在矩形OABC中，OA=4，OC=2，以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，如图1，DE经过点B，求旋转角的大小和点D，F的坐标；
（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移，如图2，平移速度是每秒1个单位长度．
①经过几秒，直线EF经过点B；
②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．

Answer

（1）根据OA=4，OC=2，BC=OA，因而就可求得BC=2CD，则可以求出∠BCD=60°，则旋转角即可求得；作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N，根据三角函数即可求得：DM，CM的长，从而求得D的坐标，在Rt△CFN中，根据三角函数即可求得CN，FN的长，即得F的坐标；
（2）①HB即为直线EF经过点B时移动的距离．在Rt△C′DH中利用三角函数即可求得DH，从而得到HE，再在△HEB中，利用三角函数求得BH，即可求得时间．
②重合的部分可能是四边形，也可能是三角形，应分两种情况进行讨论．
【解析】
（1）如图1．在矩形OABC中，OA=4，OC=2，
所以在RT△BCD中，BC=2CD，即
所以∠BCD=60°．所以旋转角∠OCD=30°
作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N．
在RT△CDM中，CM=CD•cos60°=1，DM=CD•sin60°=．
所以点D到x轴的距离为．
在RT△CFN中，，
所以点F到x轴的距离为4．
故D（1，），F（

（2）①如图2，HB
即为直线EF经过点B时移动的距离．
在RT△C′DH中，，
所以．
在RT△BEH中，
HE=BHcos30°，则．
所以直线EF经过点B时所需的时间秒
②过点D作DM⊥BC于点M．
在RT△DMC′中，
C′M=．
在RT△DHC′中，C′D=C′Hcos60°=2．
当0＜t＜1时，重叠部分面积为四边形DGCH，如图2，
C′C=t，CG=C′Ctan60°=t．
．
当1≤t＜4时，重叠部分的面积为△GCH，如图3，
．
所以重叠部分的面积．