Question

如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为    ．

Answer

关键在于找到两个极端，即AP取最大或最小值时，点M或N的位置．经实验不难发现，分别求出点M与A重合时，AP取最大值3和当点N与C重合时，AP的最小值4- 所以可求线段AP长度的最大值与最小值之和．
【解析】
如图，过点C作CD⊥直线l交l于点D，
则四边形ABCD为矩形，通过操作知，当折叠过点A时，即点M与点A重合时，AP的值最大，
此时记为点P1，易证四边形ABNP1为正方形，
由于AC=5，BC=4，
故AB===3，
当折叠MN过点C时，AP的值最小，此时记为点P2，
由于P2C=BC=4，AB=CD=3，
故P2D==，
故此时AP2=AD-P2D=4-，
线段AP长度的最大值与最小值的差为：3-（4-）=3-4+=-1．
故答案为：-1．