Question

如图所示等腰梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．
求证：△PQS是等边三角形．

Answer

由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD与△OAB均为等边三角形．连接CS，BP根据等边三角形的性质可知△BCS与△BPC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知QS=BP=BC，由中位线定理可知，QS=QP=PS=BC，故△PQS是等边三角形．
证明：连CS，BP．
∵四边形ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，
∴可得出：△CAB≌△DBA，
∴∠CAB=∠DBA，
同理可得出：∠ACD=∠BDC，
∴AO=BO，CO=DO．
∵∠ACD=60°，
∴△OCD与△OAB均为等边三角形．
∵S是OD的中点，
∴CS⊥DO．
在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，
∴SQ=BC．
同理BP⊥AC．
在Rt△BPC中，PQ=BC．
又∵SP是△OAD的中位线，
∴SP=AD=BC．
∴SP=PQ=SQ．
故△SPQ为等边三角形．