Question

已知抛物线y=-x²+x与x轴交于O点和B点，与直线y=kx在第一象限交于点A（，1）．
（1）求k的值及∠AOB的度数．
（2）现有一个半径为2的动圆，其圆心P在抛物线上运动，当⊙P恰好与y轴相切时，求P点坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心的⊙M恰好与y轴和上述直线y=kx都相切？若存在，求点M的坐标及⊙M的半径；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将点A坐标代入直线OA的解析式中即可确定k的值；由点A的坐标，先求出∠AOB的正弦值，由此确定∠AOB的度数．
（2）⊙P与y轴相切时，点P的横坐标的绝对值等于⊙P的半径长，将点P的横坐标代入抛物线的解析式中，即可确定点P的坐标．
（3）⊙M与y轴、直线OA都相切，那么圆心M必为∠AOy的角平分线与抛物线的交点，根据该思路解题即可．
【解析】
（1）将点A（，1）代入直线y=kx中，得：k=1，k=；
由A（，1）得：tan∠AOB==，则：∠AOB=30°．

（2）∵⊙P恰好与y轴相切，
∴P点到y轴的距离等于⊙P的半径，即 P点的横坐标为 2或-2；
当x=2时，y=-22+×2=-4+；
当x=-2时，y=-（-2）2+×（-2）=-4-；
∴P（2，-4+）或（-2，-4-）．

（3）∵由（1）知：∠AOB=30°，则∠AOy=60°；
∴∠AOy的角平分线：y=x．
联立抛物线的解析式，得：
，
解得：（舍去），，
∴点M的坐标（，1），⊙M的半径为．