Question

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer

（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠EDB+∠ABD=90°，∠CBG+∠BGC=90°，推出∠EDB=∠DGF即可；
（3）根据等腰三角形的性质推出∠DAF=∠ADF，求出AF=DF=FG，推出S△DGF=S△ADG，证△BCG∽△ADG，根据相似三角形的性质求出即可．
【解析】
（1）如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线．

（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．

（3）∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△ADG=2S△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴=，
∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面积是16．