Question

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

Answer

（1）先用含x的代数式（12-3x）÷3=4-x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．
（2）用含x的代数式（12-4x）÷3=4-x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
（3）用含x的代数式（a-nx）÷3=-x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
【解析】
（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；

（2）AD=（12-4x）÷3=4-x，
S=x（4-x），
=-x2+4x，
当x=-=时，
S最大==3，
答：当x=时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；

（3）AD=（a-nx）÷3=-x，
S=x（-x），
=-x2+x，
当x=-=时
S最大==．
答：当x=时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是平方米．