Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S_△OAB=8，求点B的坐标．

Answer

（1）据图可知（0，0），（2，0）在y=-x2+bx+c上，可代入得到关于b、c的二元一次方程组，解即可；
（2）根据（1）中所求函数解析式，可把a、b、c的值代入顶点公式，易求顶点坐标，以及对称轴；
（3）先设点B的坐标是（a，b），根据三角形的面积公式可得×2|b|=8，易求b=±8，由于顶点纵坐标是1，故b=8舍去，那么b=-8，再把b=-8代入原函数，可得-x2+2x=-8，解得x=4或x=-2，从而可得B点坐标是（4，-8）或（-2，-8）．
【解析】
（1）把（0，0），（2，0）代入y=-x2+bx+c，得
，
解得b=2，c=0，
所以解析式为y=-x2+2x；

（2）∵a=-1，b=2，c=0，
∴-=-=1，==1，
∴顶点为（1，1），
对称轴为直线x=1；

（3）设点B的坐标为（a，b），则
×2|b|=8，
∴b=8或b=-8，
∵顶点纵坐标为1，8＞1（或-x2+2x=8中，x无解），
∴b=-8，
∴-x2+2x=-8，
解得x1=4，x2=-2，
所以点B的坐标为（-2，-8）或（4，-8 ）．