Question

如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接得到四边形A₁B₁C₁D₁，再取各边中点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，依此类推，这样得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为    ．

Answer

根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的 ，即a2；推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=．
【解析】
∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1=AC．
∴△BA1B1∽△BAC．
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ．
又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16．
推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=．
故答案为（或或，只要答案正确即可）．