Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer

（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似．
【解析】
（1）BM+DN=MN成立．
证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴△AEM≌△ANM，
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．
在线段DN上截取DQ=BM，
在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．