Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连接AD，交CE于P．
（1）求证：P是△ACQ的外心；
（2）若AF=2，AD=8，求⊙O的半径．

Answer

（1）由C是的中点，根据圆周角定理得到∠CAD=∠ABC，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，即∠CAD+∠AQC=90°，而CE⊥AB，则∠ABC+∠PCQ=90°，可得到∠AQC=∠PCQ；根据垂径定理得到，则∠CAD=∠ACE，利用等腰三角形的判定定理即可得到PA=PC=PQ，根据外心的定义即可得到结论；
（2）连OC交AD于H点，根据垂径定理的逆定理可得OC垂直平分AD，即∠AHC=90°，AH=AD=4，根据三角形全等的判定易得△ACH≌△CAF，则CH=AF=2，设⊙O的半径为r，则OH=r-2，在Rt△OAH中，
运用勾股定理可得到关于r的方程，解方程可得到r的值．
证明：（1）∵C是的中点，
∴=，
∴∠CAD=∠ABC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠AQC=90°，
又CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°，
∴∠AQC=∠PCQ，
∴PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，
∴，
∴，
∴∠CAD=∠ACE，
∴在△APC中，PA=PC，
∴PA=PC=PQ，
∴P是△ACQ的外心；

（2）连OC交AD于H点，如图，
∵弧AC=弧CD，
∴OC垂直平分AD，
∴∠AHC=90°，AH=AD=4，
在△ACH和△CAF中，
，
∴△ACH≌△CAF，
∴CH=AF=2，
设⊙O的半径为r，则OH=r-2，
在Rt△OAH中，OA2=OH2+AH2，
∴r2=（r-2）2+42，
∴r=5，即⊙O的半径为5．