Question

已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．（2分）
∴DO∥MN．（3分）
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．（4分）
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．（5分）

（2）【解析】
∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴．（6分）
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．（7分）
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．（8分）
∴．
∴．
则AC=15（cm）．（9分）
∴⊙O的半径是7.5cm．（10分）