Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由．

Answer

（1）连接OA．设OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF=，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
【解析】
（1）连接OA．设OP与AB的交点为F．
∵⊙O的半径为1（已知），
∴OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=OP=，AF=BF（垂径定理），
在Rt△OAF中，AF===（勾股定理），
∴AB=2AF=．

（2）∠ACB是定值．
理由：连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，
又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵OB=1，OF=，OF⊥AB，
∴∠FBO=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴∠FOB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=∠AOB=120°．
又⊙D是△ABC的内切圆，
∴∠DAB=∠CAB，∠DBA=∠CBA，
∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=180°-∠ADB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB的度数为60°（三角形内角和定理）．