Question

已知函数y₁=x，y₂=x²+mx+n，x₁、x₂是方程y₁=y₂的两个实根，点P（s，t）在函数y₂的图象上．
（1）若x₁=2，x₂=4，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，当0≤s≤6时，求t的取值范围；
（3）当0＜x₁＜x₂＜1，0＜s＜1时，试确定t，x₁，x₂三者之间的大小关系．

Answer

（1）通过把x1=2，x2=4分别代入y1=y2，确定m，n的值即可；
（2）首先根据二次函数的对称轴得出s=，再利用当0≤s≤时，当＜s≤6时，分别求出t的取值范围即可；
（3）利用t-x1=s2+ms-x12-mx1=（s-x1）（s+x1+m），t-x2=s2+ms-x22-mx2=（s-x2）（s+x2+m），结合当0＜s≤x1时，当x1＜s≤x2时，当x2＜s＜1时分别求出t，x1，x2三者之间的大小关系即可．
【解析】
（1）∵y1=x，y2=x2+mx+n，y1=y2，
∴x2+（m-1）x+n=0．将x1=2，x2=4分别代入x2+（m-1）x+n=0，
得，
解得：．

（2）由（1）知，y2=x2-5x+8=（x-）2+，
∵点P（s，t）在函数y2的图象上，
∴t=（s-）2+，
当0≤s≤时，
当s=0，t=8，当s=，t=，
则≤t≤8，
当＜s≤6时，
当s=，t=，当s=6，t=14，
则＜t≤14，

（3）由已知，得x1=x12+mx1+n，x2=x22+mx2+n，t=s2+ms+n．
t-x1=s2+ms-x12-mx1=（s-x1）（s+x1+m），
t-x2=s2+ms-x22-mx2=（s-x2）（s+x2+m），
x1-x2=（x12+mx1+n）-（x22+mx2+n）
∴x1-x2=（x1-x2）（x1+x2+m），
∴（x1-x2）（x1+x2+m-1）=0，
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1-x2≠0，
∴x1+x2+m-1=0，
有x1+m=1-x2＞0，
又∵0＜s＜1，
∴s+x1+m＞0，s+x2+m＞0，
∴当0＜s≤x1时，t≤x1＜x2，
当x1＜s≤x2时，x1＜t≤x2，
当x2＜s＜1时，x1＜x2＜t．