Question

已知：半圆O的半径OA=4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作垂线交⊙O于点C，射线PC交⊙O于点D，连接OD．
（1）若，求弦CD的长．
（2）若点C在上时，设PA=x，CD=y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF=1时，请直接写出tan∠P的值．

Answer

（1）根据，得出∠DOC=∠AOC，进而求出PC=OC，以及△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性质得出即可；
（2）作OE⊥CD，求出△PBC∽△PEO，进而得出=，即可求出y与x的关系式；
（3）分别利用若点D在外部时，以及利用若点D在上时，利用等腰三角形的性质以及锐角三角函数关系得出tan∠P的值即可．
【解析】
（1）连接OC，如图1，
∵，
∴∠DOC=∠AOC，
又∵BC垂直平分OP，
∴PC=OC，
而OA=4，
∴CP=OC=4，
∴∠P=∠POC，
∴∠CPO=∠COD，
而∠PDO=∠ODC，
∴△DOC∽△DPO，
∴DC：OD=OD：DP，即OD2=DC•DP，
∴DC（DC+4）=16，
∴CD=2-2；

（2）作OE⊥CD，垂足为E，如图1，
则CE=CD=y，
∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°，
∴△PBC∽△PEO，
∴=，
而PB=OP=（x+4），PE=PC+CE=4+y，
∴，
∴y=x2+2x-4（4-4＜x＜4）；

（3）若点D在外部时，
连接OC和OE．
显然可以得：Rt△CBP≌Rt△CBO，
∴∠CPB=∠COB=x（不妨设其大小为x）
∴∠DCO=2x．（三角形外角的性质定理），
同时，PC=OC=R=4，
∵CE=DE（已知）
∴由垂径定理可知：OE⊥CD，
在△Rt△OEC和Rt△OED中，
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OED （SSS）
∴∠ODC=∠OCD=2x．
同时，由锐角三角函数定义，
在Rt△OPE中．
tan∠APD=，
∵∠CBO=∠CEO=90°，
∴四点B，C，E，O四点共圆，
∴由同圆中，同弧上的圆周角相等可知
∠BEC=∠BOC=x，
∴∠DEF=∠BEC（对顶角相等）=∠BOC=x．
在△DEF中，由三角形外角性质定理，
∠ODC=∠F+∠DEF，
∴2x=∠F+x，
∴∠F=x．
∴△DEF为等腰三角形，
CE=DE=DF=1．
∴PE=PC+CE=4+1=5，
在Rt△ODE中，DE=1，OD=R=4，
∴由勾股定理可得OE=，
∴tan∠P==，
若点D在上时，
同理可知 CE=DE=DF=1，PC=OC=r=4，
故PE=3，OE=，
则tan∠P==．