Question

已知在△ABC中，∠BAC=90°，M是边BC的中点，BC的延长线上的点N满足AM⊥AN．△ABC的内切圆与边AB、AC的切点分别为E、F，延长EF分别与AN、BC的延长线交于P、Q，则=（ ）
A．1
B．0.5
C．2
D．1.5

Answer

取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE=AF，推出∠AEF=∠AFE=∠CFQ，根据直角三角形斜边上中线性质求出AM=MC，推出∠MCA=∠MAC，根据∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，求出∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，根据三角形的无解外角性质得出∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，求出∠Q=∠NPQ，推出PN=NQ即可．
【解析】
取△ACB的内切圆的圆心是O，连接OE、OF，作NA的延长线AG，
则OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAC=90°，M为斜边BC上中线，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠BAC=90°，AN⊥AM，
∴∠BAC=∠MAG=∠MAN=90°，
∴∠GAE+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAC=90°，∠MAC+∠CAN=90°，
∴∠GAE=∠MAC=∠MCA，∠EAM=∠CAP，
∵∠GAE=∠APE+∠AEP，∠MCA=∠Q+∠CFQ，
∵∠AEF=∠AFE=∠CFQ，∠EPA=∠NPQ，
∴∠Q=∠NPQ，
∴PN=QN，
∴=1，
故选A．