Question

如图所示：AP、PB、AB分别是三个半圆的直径，PQ⊥AB，面积为9π的圆O与两个半圆及PQ都相切，而阴影部分的面积是39π，则AB的长是    ．

Answer

设最大圆的圆心O1，中园圆心O2，小圆O3，小圆半径y，中圆半径x，过O点作ON⊥AB于N，根据相切两圆的性质求出则OO1、OO3、O1N、O3N的长，由勾股定理得到方程求出xy=3（x+y），根据已知求出xy=48，代入即可求出AB．
【解析】
设最大圆的圆心O1，中园圆心O2，小圆O3，小圆半径y，中圆半径x，过O点作ON⊥AB于N，则OO1=x+y-3 OO3=y+3 O1N=O1P+PN=X-Y+3，O3N=Y-3，由勾股定理根据ON2=OO12-O1N2=OO32-O3N2，
∴（x+y-3）2-（x-y+3）2=（y+3）2-（y-3）2，
解方程得：xy=3（x+y），
因为图中阴影部分的面积是39π，
所以[π（x+y）2-πx2-πy2]-9π=39π，∴xy=48，x+y=16，
∴AB=32，故答案为：32．