Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，求实数m的值．

Answer

由Rt△ABC中，∠C=90°，可得sin2A+sin2B=1，又由sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x2-2x）+5（x2+x）+12=0的两个实根，根据根与系数的关系可得：sinA+sinB=，sinA•sinB=，继而求得m的值．
【解析】
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B===1，
∵sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x2-2x）+5（x2+x）+12=0的两个实根，
即sinA、sinB是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0的两个实根，
∴sinA+sinB=，sinA•sinB=，
∴sin2A+sin2B=（sinA+sinB）2-2sinA•sinB=（）2-2×=1，
即m2-18m-40=0，
解得：m=20或m=-2．
当m=20时，可得：△=25＞0，符合题意；
当m=-2时，可得：△=-7＜0，不符合题意，舍去．
∴实数m的值为20．