Question

已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正三角形ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长．

Answer

连接OA，OB，OD，OE，设∠CDB=x，根据等边三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=60°，CB=AB，而DB=AB，则∠BCD=x，利用三角形内角和定理得∠CBD=180°-2x，则∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x，易证得△OAB≌△OBD，则∠ABO=∠DBO，可计算出∠ABO=∠ABD=（240°-2x）=120°-x，而OA=OB，于是∠OAB=∠OBA=120°-x，根据圆的内接四边形的对角互补得到∠EDB+∠EAB=180°，则∠EAB=180°-x，可计算出∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x，即∠EAC=∠OAB，则有∠EAO=∠BAC=60°，而OE=OA，所以△OAE为等边三角形，即可得到AE=OA=1．
【解析】
如图，连接OA，OB，OD，OE，设∠CDB=x．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，CB=AB，
而DB=AB，
∴BC=BD，
∴∠BCD=x，
∴∠CBD=180°-2x，
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x，
易证得△OAB≌△OBD，
∴∠ABO=∠DBO，
∴∠ABO=∠ABD=（240°-2x）=120°-x，
而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=120°-x，
又∵∠EDB+∠EAB=180°，
∴∠EAB=180°-x，
∴∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x，
∴∠EAC=∠OAB，
∴∠EAO=∠BAC=60°，
而OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴AE=OA=1．