Question

如图1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
（1）请你帮小萍求出x的值．
（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4．请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）

Answer

（1）正方形AEGF的边长是x．则BG=EC-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，在直角△BGC中利用勾股定理即可得到关于x的方程，即可求解；
（2）可以证明△AEF是等边三角形，△EFG是等腰三角形，作出底边上的高，利用三角函数即可求解EG，根据△BGC的周长是：BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG即可求解．
【解析】
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，
D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
得到四边形AEGF是正方形，
根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，
设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，
在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x-2）2+（x-3）2=52，
解得：x=6或-1（舍去）．
故边长是6；

（2）作GM⊥EF于点M．
根据对称的性质可得：AE=AF=AD=4，
∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠DAC，
又∵∠BAC=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=4，∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠GEF=∠GFE=30°，
则EG=GF，
∴EM=EF=2，
∴EG==，
∴△BGC的周长是：BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG=．