Question

如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作圆O交斜边AB于点D，若劣弧CD=120°，则=    ．

Answer

如图，连接OD、CD．利用圆周角定理可以推知∠ADC=90°，由已知条件证得∠COD=120°；然后根据等边三角形的判定与性质可以求得∠A=60°，由直角三角形的两个锐角互余知∠ACD=∠ABC=30°；最后在直角三角形中，由“30°所对的直角边是斜边的一半”分别求得AD、BD与线段AC的数量关系，从而求得的值．
【解析】
如图，连接OD、CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵劣弧CD=120°，∴∠COD=120°，
∴∠OAD=60°；
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠A=60°；
在Rt△CAD中，AD=AC（30°所对的直角边是斜边的一半）；
在Rt△ABC中，AC=AB（30°所对的直角边是斜边的一半）；
∴BD=AB-AD=AC，
∴=3．
故答案是：3．