Question

如图，AE是△ABC中BC边上的高线也是中线，点D在线段AE上（不与两端点重合）．
（1）证明：△ADB≌△ADC；
（2）当△AEB∽△BED时，若sin∠BAE=，BC=4，求线段DE的长度．

Answer

（1）由已知证明AE垂直平分线段BC，根据垂直平分线的性质得AB=AC，DB=DC，而AD=AD，利用“SSS”证明△ADB≌△ADC；
（2）由△AEB∽△BED得∠DBE=∠BAE，把问题转化到Rt△BDE中，解直角三角形求DE．
（1）证明：∵AE是△ABC中BC边上的高线也是中线，即线段AE在BC的中垂线上，
∴AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；

（2）【解析】
∵△AEB∽△BED，∴∠BAE=∠DBE，
∵sin∠BAE=，
∴sin∠DBE=，
在Rt△DBE中，sin∠DBE==，
∴BD=3DE，
又BC=4，E为中点，∴BE=2，
∵DE2+BE2=BD2，∴DE2+4=9DE2，
解得 DE=．