Question

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠A=时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；
（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标．

Answer

（1）将D（4，m）、E（2，n）代入反比例函数解析式，进而得出n，m的关系；
（2）利用△BDE的面积为2，得出m的值，进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可；
（3）利用△AEO与△EFP 相似存在两种情况，分别利用图形分析得出即可．
【解析】
（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图象上，
∴
整理，得n=2m．；

（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=，
EH=2，所以BH=1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面积为2，
所以．
解得m=1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数的图象上，
所以k=4．
因此反比例函数的解析式为．    
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得
解得：．
因此直线AB的函数解析式为． 

（3）因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），
所以FD∥x轴，∠EFP=∠EAO．
因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：
①如图2，当时，
解得FP=1．此时点P的坐标为（1，1）．
②如图3，当时，．
解得FP=5．
此时点P的坐标为（5，1）．
综上所述，P点坐标为：（1，1），（5，1）．