Question

如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x²-6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA：AC=2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D．
（1）求出点A、点B的坐标．
（2）请求出直线CD的解析式．
（3）若点M为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点M，使以点B、P、D、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据一元二次方程的解法得出0A=2，0B=4，即可得出的A，B的坐标；
（2）首先利用角之间的关系得出△BOA∽△COD，即可得出D点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（3）先求出P点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD，M可在第一象限或第二象限，以及BM=PD时M在第三象限分别分析直接得出答案．
【解析】
（1）∵x2-6x+8=0，
∴x1=4，x2=2（1分），
∵0A、0B为方程的两个根，且0A＜0B，
∴0A=2，0B=4（1分），
∴A（0，2），B（-4，0）（1分）；

（2）∵0A：AC=2：5，OA=2，
∴AC=5，
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴C（0，7）（1分），
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD，
∵∠BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴=，
∴OD===（1分），
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，7），D（，0）分别代入得：，
∴（1分），
∴yCD=-2x+7（1分）；

（3）存在，
∵A（0，2），B（-4，0），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
故直线AB的解析式为：y=x+2，
将直线AB与直线CD联立，
解得：，
∴P点坐标（2，3），
∵D（，0），B（-4，0），
∴BD=7.5，
当PM1BD是平形四边形，
则BD=PM 1=7.5，
∴AM 1=5.5，
∴M1（-5.5，3），
当PBDM2是平形四边形，
则BD=PM 2=7.5，
∴AM 2=9.5，
∴M2（9.5，3），
P到x轴距离等于M3到x轴距离，故M3的纵坐标为-3，
∵BE=DF=BD-DE=6，
∴FO=6-3.5=2.5，
∴M3的横坐标为-2.5，
∴M3的坐标为（-2.5，-3）；
综上所述M点的坐标为：M1（-5.5，3），M2（9.5，3），M3（-2.5，-3）（3分）．
注：本卷中各题若有其它正确的解法，可酌情给分．