Question

如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=，延长OE到点F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：BF是⊙O的切线．

Answer

（1）连OA，由直径CE⊥AB，根据垂径定理可得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，利用圆周角定理得到∠ACE=∠BCE，∠AOB=2∠ACB，且∠AOE=∠BOE，则∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB=，在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，利用勾股定理可计算出x=，则OB=3x=；
（2）由于FE=2OE，则OF=3OE=，则=，而=，于是得到=，根据相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根据相似三角形的性质有∠OBF=∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
（1）【解析】
连OA，如图，
∵直径CE⊥AB，
∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠BOE=∠ACB，
而cos∠ACB=，
∴cos∠BOD=，
在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，
∵OD2+BD2=OB2，
∴x2+22=（3x）2，解得x=，
∴OB=3x=，
即⊙O的半径为；

（2）证明：∵FE=2OE，
∴OF=3OE=，
∴=，
而=，
∴=，
而∠BOF=∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF=∠ODB=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线．