Question

已知：如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，∠AOD=∠APC．
求证：AP是⊙O的切线．

Answer

连接OP，只需证明OP⊥AP即可．
证明：连接OP；
∵OP、OD是⊙O的半径，
∴OP=OD．
∴∠OPD=∠ODP．
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°．
∴∠ODP+∠AOD=90°．
∵∠AOD=∠APC，
∴∠OPD+∠APC=90°．
∴∠APO=90°．
∴AP是⊙O的切线．