Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k的值．

Answer

先设此方程两根分别是x1、x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=-=k+1，x1•x2==k2+1，由于矩形的对角线长为，根据勾股定理可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2，于是（k+1）2-2（k2+1）=5，解得k=2或k=-6，再根据根的判别式可知△≥0，即（k+1）2-4（k2+1）≥0，解得k≥，于是可确定k=2．
【解析】
设此方程两根分别是x1、x2，那么，
x1+x2=-=k+1，x1•x2==k2+1，
∵矩形的对角线为，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2，
∴（k+1）2-2（k2+1）=5，
即k2+2k-6=0，
解得k=2或k=-6，
∵方程的两根是矩形两邻边的长，
∴△=b2-4ac≥0，
即（k+1）2-4（k2+1）≥0，
解得k≥，
∴k=2．