Question

已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．
（1）求含有常数a的抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄x轴．垂足是H，求证：PD=PH；
（3）设过原点O的直线l与抛物线在笫一象限相交于A、B两点，若DA=2DB．且S_△ABD=4．求a的值．

Answer

（1）根据抛物线的图象假设出解析式为y=kx2+a，将经过点（2a，2a），代入求出即可；
（2）根据勾股定理得出PD2=DG2+PG2，进而求出PD=PH；
（3）利用（2）中结论得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中点，进而得出S△OBD=S△ABD=4，即可得出a的值．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a，
∵经过点（2a，2a），
4a2k+a=2a，
∴k=，
则抛物线的解析式为：y=x2+a；

（2）连接PD，设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y-2a）2+x2=y2-4ay+4a2+x2，
∵y=x2+a，
∴x2=4a×（y-a）=4ay-4a2，
∴PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2，
∴PD=PH，

（3）过B作BE⊥x，AF⊥x，
由（2）的结论：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2OB，
∴B是OA的中点，
∵C是OD的中点，
连接BC，∴BC===BE=DB，
过B作BR⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+=，
∴=x2+a，
∴x2=2a2，
∵x＞0，
∴x=a，
∴B（a，），AO=2OB，
∴S△OBD=S△ABD=4，
∴×2a×a=4，
∴a2=4，
∵a＞0，
∴a=2，