Question

已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，若分割得到的三角形与Rt△OAB相似，则符合条件的C点有    个．

Answer

按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图，C1（3，0），C2（6，4），C3（6，）．
【解析】
过P作PC1⊥OA，垂足是C1，
则△OC1P∽△OAB．
点C1坐标是（3，0）．（2分）
过P作PC2⊥AB，垂足是C2，
则△PC2B∽△OAB．
点C2坐标是（6，4）．（4分）
过P作PC3⊥OB，垂足是P（如图），
则△C3PB∽△OAB，
所以BC3：BO=BP：BA．（6分）
易知OB=10，BP=5，BA=8，
所以BC3=，AC3=8-=．（8分）
所以C3（6，）．（9分）
符合要求的点C有3个．
故答案为3．