Question

已知直线y=-x+2m+1与双曲线y=有两个不同的公共点A、B．
（1）求m的取值范围；
（2）点A、B能否关于原点中心对称？若能，求出此时m的值；若不能，说明理由．

Answer

（1）直线y=-x+2m+1与双曲线y=有两个不同的公共点A、B，这两个公共点的横坐标就是方程-x+2m+1=的两个不同的解，根据判别式可求m的取值范围；
（2）用反证法：假设能，根据对称特点，易求m值，与m的取值范围比较，即可判定．
【解析】
（1）∵直线y=-x+2m+1与双曲线y=有两个不同的公共点A、B，
∴，
∴-x+2m+1=，
∴根据根的判别式可知：m＞；

（2）解法一：若A，B关于原点中心对称，则它们的纵横坐标互为相反数，
所以方程（1）的两根互为相反数，
得2m+1=0，解得：m=-，与m＞矛盾，
∴A，B不可能关于原点中心对称．
解法二：若A、B两点关于原点中心对称，
则直线y=-x+2m+1过坐标原点，2m+1=0，m=-，
此时直线为y=-x，所以A、B分别在第二、四象限，
由y=知，A、B应在第一、三象限，矛盾，
故A、B不能关于原点中心对称．