Question

某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

Answer

（1）可根据正切值求出树高AB；
（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，求出AE的值即可．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°
∵tanC=（2分）
∴AB=AC•tanC（3分）
=9×（4分）
≈5.2（米）（5分）

（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图）（7分）
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD（9分）
=2×5.2=10.4（米）（10分）
答：树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．（11分）