Question

二次函数y=（x+2）²的图象的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标．
（2）点M（m，1）在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的圆相切，直接写出点N的坐标．

Answer

（1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得．在求点C的坐标时，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），显然，若△ABC是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求边长还是根据B点在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标．
（2）“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若“△ABM的面积等于△ABC的面积”，以AB为底边进行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是相同的，即CM∥AB，直线AB的解析式易求，两直线平行则斜率相同，再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵坐标即可得出结论．
（3）首先求出⊙C的半径，即CM的长．若⊙C与⊙N相切，就要分两种情况来考虑：①外切，CN长等于两圆的半径和；②内切，CN长等于两圆的半径差．
在明确CN长的情况下，在Rt△CAN中，通过勾股定理求出AN的长，进一步即可确定点N的坐标．
【解析】
（1）二次函数y=（x+2）2的图象的顶点A（-2，0），与y轴的交点B（0，2），
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
可求得 k=，b=2．所以直线AB的表达式为y=x+2．
可得∠BAO=30°，∵∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．点C（-2，4）．

（2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，
∴CM∥AB．
设直线CM的表达式为y=x+m，点C（-2，4）在直线CM上，
可得 m=6．
∴直线CM的表达式为y=x+6．
可得点M的坐标：（-5，1）．

（3）由C（-2，4）、M（-5，1）可得：
CM==6．
①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN===；
∴ON=AN+OA=+2或ON=AN-OA=-2
即：点N的坐标为：（--2，0）、（-2，0）．
②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2或ON=OA-AN=2-3
即：点N的坐标为：（-3-2，0），（3-2，0）．
综上可知：
点N的坐标（-3-2，0），（3-2，0），（--2，0），（-2，0）．