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已知,∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线,点P在CD上,.将三角板的直角顶...

已知,∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线,点P在CD上,manfen5.com 满分网.将三角板的直角顶点放置在点P处,绕着点P旋转,三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G.
(1)如图,当点F在射线CA上时,
①求证:PF=PE.
②设CF=x,EG=y,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域.
(2)连接EF,当△CEF与△EGP相似时,求EG的长.
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(1)①过点P作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N,由已知条件证明△PMF≌△PNE即可证明PF=PE;②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出y与x的函数解析式,再写出其自变量的取值范围即可; (2)当△CEF与△EGP相似时,点F的位置有两种情况:①当点F在射线CA上时,②当点F在AC延长线上时,分别讨论求出满足题意的EG长即可. (1) ①证明:过点P作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N. ∵CD是∠ACB的平分线, ∴PM=PN. 由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°,得∠MPN=90°. ∴∠1+∠FPN=90°. ∵∠2+∠FPN=90°, ∴∠1=∠2. ∴△PMF≌△PNE. ∴PF=PE. ②【解析】 ∵CP=, ∴CN=CM=1. ∵△PMF≌△PNE, ∴NE=MF=1-x. ∴CE=2-x. ∵CF∥PN, ∴△GCF∽△GNP, ∴. ∴. ∴(0≤x<1). (2)当△CEF与△EGP相似时,点F的位置有两种情况: ①当点F在射线CA上时, ∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠PEG, ∴∠G=∠1. ∴FG=FE. ∴CG=CE. 在Rt△EGP中,EG=2CP=2. ②当点F在AC延长线上时, ∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠2, ∴∠3=∠2. ∵∠1=45°+∠5,∠1=45°+∠2, ∴∠5=∠2. 易证∠3=∠4,可得∠5=∠4. ∴FC=CP=. ∴FM=1+. 易证△PMF≌△PNE, 可得EN=1+. ∵CF∥PN, ∴. ∴GN=-1. ∴EG=2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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