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操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角板的直...

操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角板的直角顶点与点P重合(含30度角的直角三角板),并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.
探究:①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论,并说明理由;
②当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少?

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由于本题直角三角形的摆放方法没有确定,因此要分两种情况进行讨论: ①直角三角形的斜边与AD相交;(如图1) ②直角三角形的斜边与BC边在同一条直线上(如图2);解题思路一致. 以①为例说明:△DEP和△BCP中,∠DEP和∠BPC同为∠DPE的余角,因此这两角相等,易证得两三角形相似.当P为CD中点时,PD=CP,可根据相似三角形得出的比例关系式求出DE和BC的表达式,进一步可求得两三角形的周长和面积比. 【解析】 分两种情况: ①如图(1), ∵∠BPE=90°, ∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°, ∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°, ∴△BPC∽△PED. 如图(2),同理可证△BPC∽△BEP∽△PEC. ②如图(1),∵△BPC∽△PED, ∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比,即PD与BC的比, ∵点P位于CD的中点, ∴PD与BC的比为1:2, ∴△PED与△BPC的周长比1:2, △PED与△BPC的面积比1:4. 如图(2),∵△BPC∽△BEP, ∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比,即BP与BC的比, ∵点P位于CD的中点, 设BC=2k,则PC=k,BP=k, ∴BP与BC的比为:2, △BEP与△BPC的周长比为:2,△BEP与△BPC的面积比为5:4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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