Question

如图，点p₁、P₂、P₃…P_n在函数第一象限的图象上，点A₁、A₂、A₃…A_n在x轴的正半轴上，且△OA₁P₁、△A₁A₂P₂、△A₂A₃P₃、…..△A_n-1A_nP_n是等腰直角三角形，点A_n坐标为    ．

Answer

由于△P1OA1是等腰直角三角形，可知直线OP1的解析式为y=x，将它与y=联立，求出方程组的解，得到点P1的坐标，则A1的横坐标是P1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，则A1P2∥OP1，直线A1P2可看作是直线OP1向右平移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1P2的解析式，同样，将它与y=联立，求出方程组的解，得到点P2的坐标，则P2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点An的坐标．
【解析】
分别过P1、P2、P3作x轴的垂线，垂足为H1，
易知H1（2，0）是OA1的中点，
∴A1（4，0），
可得P1的坐标为（2，2），
∴P1O的解析式为：y=x，
∵P1O∥A1P2，
∴A1P2的表达式一次项系数相等，
将A1（4，0）代入y=x+b，
∴b=4，
∴A1P2的表达式是y=x-4，
与y=（x＞0）联立，解得P2（2+2，-2+2）．
仿上，A2（4，0）．
P3（2+2，-2+2），A3（4，0）．
依此类推，点An的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．