Question

如图，正方形ABCD内一点P，若点P满足PA=1，PB=2，PC=3．
（1）将△ABP绕点B顺时针旋转90°后得到△BCQ，请画出旋转后的图形，保留必要的作图痕迹．
（2）试判断△PCQ属于哪类特殊三角形，并证明你的结论．
（3）请求出∠APB的度数．

Answer

（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；
（2）连接PQ，由勾股定理求出PQ2的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△PCQ的形状即可．
（3）先由△BPQ是等腰直角三角形求出∠BQP的度数，再根据（2）中求出的∠PQC=90°即可得出∠BQC的度数，进而得出结论．
【解析】
（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；

（2）连接PQ，
在Rt△PBQ中，
∵BP=BQ=2，
∴PQ2=BP2+BQ2=22+22=8，
在△PCQ中，
∵PC=3，QC=AP=1，
∴PC2=PQ2+QC2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°；

（3）∵BP=BQ=2，∠PBQ=90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
∵由（2）∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=45°+90°=135°，
∵△BQC由△BPA旋转而成，
∴∠APB=∠BQC=135°．