Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，DC=2，点P在边BC上运动（与B、C不重合），设PC=x．若以D为圆心、为半径作⊙D，以P为圆心、x为半径作⊙P，则当x=    时，⊙D与⊙P相切．

Answer

分两种情况考虑，当圆P与圆D外切时，如图所示，过D作DE垂直于BC，可得出四边形ABED为矩形，根据矩形的对边相等可得出AB=DE=2，在直角三角形DEC中，由DC及ED的长，利用勾股定理求出EC的长，再由EC-PC表示出EP，又圆D与圆P外切，圆心距等于两半径相加，由两圆的半径相加表示出DP，在直角三角形DEP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值；当圆P与圆D内切时，如图所示，过D作DE垂直于BC，可得出四边形ABED为矩形，根据矩形的对边相等可得出AB=DE=2，在直角三角形DEC中，由DC及ED的长，利用勾股定理求出EC的长，再由EC-PC表示出EP，又圆D与圆P外切，圆心距等于两半径相减，由两圆的半径相减表示出DP，在直角三角形DEP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．
【解析】
当圆P与圆D外切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2，DE=2，
根据勾股定理得：EC==2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圆D与圆P外切，圆D半径为，圆P半径为x，
∴DP=+x，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP2=DE2+EP2，
即（+x）2=22+（2-x）2，
解得：x=；
当圆P与圆D内切时，如图所示：

过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2，DE=2，
根据勾股定理得：EC==2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圆D与圆P内切，圆D半径为，圆P半径为x，
∴DP=x-，
在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP2=DE2+EP2，
即（x-）2=22+（2-x）2，
解得：x=，
综上，当x=或时，圆D与圆P相切．
故答案为：或