Question

已知：关于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，双曲线y=（x＞0）过梯形OABC的顶点A和腰BC中点M，∠BCO=90°．求四边形OABC的面积．

Answer

分类讨论：当k=0，方程变形为：x-1=0，解得x=1；当k≠0，先运用因式分解法解一元二次方程得到x1=，x2=1，由于关于x的方程kx2-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，则由x1==1-得到k=1，得到双曲线的解析式为y=，设M点坐标为（a，b），易得C点坐标为（a，0），B点坐标为（a，2b），则A点的纵坐标为2b，当点A在双曲线y=上，所以A点坐标为（，2b），然后根据梯形面积公式进行计算，四边形OABC的面积=（AB+OC）•BC=（a-+a）×2b=2ab-1，ab=2，可计算出面积；当点A在双曲线y=上，则A点坐标为（，2b），四边形OABC的面积=（AB+OC）•BC
=2ab-，然后把ab=1代入计算．
【解析】
当k=0，方程变形为：x-1=0，解得x=1；
当k≠0，
∵[kx-（k-1）]（x-1）=0，
∴x1=，x2=1，
∵关于x的方程kx2-（2k-1）x+k-1=0（k为整数）的根为整数，
而x1==1-，
∴k=1，
∴双曲线的解析式为y=或y=，
设M点坐标为（a，b），
∵四边形OACB为梯形，∠BCO=90°，且M为BC的中点，
∴C点坐标为（a，0），B点坐标为（a，2b），
∴A点的纵坐标为2b，
当点A在双曲线y=上，
∴当y=2b时，x=，
∴A点坐标为（，2b），
∴四边形OACB的面积=（AB+OC）•BC
=（a-+a）×2b
=2ab-1
当k=1，ab=2，四边形OACB的面积=4-1=3；
当点A在双曲线y=上，
A点坐标为（，2b），
∴四边形OACB的面积=（AB+OC）•BC
=（a-+a）×2b
=2ab-
当k=0，ab=1，四边形OACB的面积=2-=；
∴四边形OABC的面积为3或．