Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）个
①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer

根据∠M=∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A=∠DAB'+∠DB'A=90°可判断①；利用折叠的性质可判断出△B'AP≌△BAP，继而可判断出②；设AE=x，表示出EB'=EB=，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的长度，继而可判断出③；利用反证法判断④，最后看得出的结果能证明出来；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，从而可判断出⑤．综合起来即可得出最终的答案．
【解析】
连接AB'，

①由题意得∠M=∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A=∠DAB'+∠DB'A=90°，
∴∠M=∠CB'E=∠DAB'，故可得①正确；
②根据折叠的性质可得AB'=AB，AP=AP，∠B'AP=∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，
∴PB=PB'，故可得②正确；
③在Rt△ADB'可得，B'D==3，从而可得CB'=5-3=2，
设AE=x，则EB'=EB=，
在Rt△CEB'中，CE2+CB'2=EB'2，即（4-）2+4=x2-25，
解得：x=，即AE=．
故可得③正确；
④假如MB′=CD，则可得MB'=AB=AB'，
∴∠M=∠BAB'，由①得∠M=∠DAB′，
故有∠BAB'=∠DAB'，
而本题不能判定∠BAB'=∠DAB'，即假设不成立．
故可得④错误．
⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，
∴∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，
∴EB'=B'P，
故可得⑤正确．
综上可得①②③⑤正确，共四个．
故选C．