Question

如图，点E在正方形ABCD的边上，连接BE，将正方形折叠，使点B与点E重合，折痕GH交BC边于点G，交AD边于点H，若tan∠EBC=，AD+DE=15，则线段AH的长为    ．

Answer

由tan∠EBC=，可得BC=3CE，又由四边形ABCD是正方形与AD+DE=15，即可求得CE，DE，BC的长，然后由勾股定理与折叠的性质，求得CG与GE的长，又由同角的余角相等与对顶角相等，求得∠A′FH=∠DFE=∠CEG，然后由三角函数，求得EF，A′F的长，继而可求得答案．
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠D=∠A=90°，BC=CD=AD，
∵在Rt△BCE中，tan∠EBC=，
即=，
∴BC=3CE
∴DE=CD-CE=BC-CE=2CE，
∵AD+DE=15，
∴5CE=15，
∴CE=3，
即BC=AD=CD=9，DE=6，
由折叠的性质可得：A′H=AH，∠A′=∠A=90°，BG=GE，A′E=AB，
设CG=x，则GE=BG=BC-CG=9-x，
在Rt△CEG中，GE2=CG2+CE2，
即（9-x）2=x2+9，
解得：x=4，
∴CG=4，GE=5，
∵∠FEG=∠ABG=90°，
∴∠DFE+∠DEF=∠DEF+∠CEG=90°，
∴∠A′FH=∠DFE=∠CEG，
∴EF====，
∴A′F=A′E-EF=9-=，
∴A′H=A′F•tan∠A′FH=A′F•tan∠CEG=×=2，
∴AH=A′H=2．
故答案为：2．