Question

已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°，过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．
（1）如图1，当PC=PB时，则S_△PBE、S_△PCF S_△BPC之间的数量关系为______；
（2）如图2，当PC=2PB时，求证：16S_△PBE+S_△PCF=4S_△BPG；
（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF于点N，若S_△bpc=80，BE=6．求线段DN的长．

Answer

（1）过点P作PI⊥BC于点I，由PB=PC可知PI∥BE∥CF，故PI是梯形BCFE的中位线，由梯形的中位线定理可知，PI=（BE+CF），由于△PBC是等腰直角三角形，故PI=BI=CI，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）过点P作PG⊥EF交BC于点G，∠EPG=90°，由相似三角形的判定定理得出△EPB∽△GPC，由相似三角形的性质可知S△GPC=4S△EPB，同理可得S△EPC=4S△GPB，故可得出结论；
（3）设正方形的边长为a（a＞0），由PC=2PB，S△BPC=80可求出a的值，由（2）中△EPB∽△GPC，可得出CG=2BE=12，BG=8，CF=16，DF=4，过点P作PM∥AB交BC于点M．交AD于点H，过点P作PT⊥CD于T，由勾股定理可求出DQ的长，当DQ=4时，由等腰三角形的性质可求出DN的长，当DQ=12时，过点N作NN1⊥QD于N1，由相似三角形的判定定理得出△QDF∽△QN1N，故可得出NN1的长，再由勾股定理即可得出DN的长．
【解析】
（1）如图1所示：过点P作PI⊥BC于点I，
∵PB=PC，
∴PI∥BE∥CF，
∴PI是梯形BCFE的中位线，
∴PI=（BE+CF），
∵△PBC是等腰直角三角形，
∴PI=BI=CI，
∴S△PBE+S△PCF=BE•BI+CF•CI=BE×BC+CF•BC=BC（BE+CF）=BC•PI=S△PBC；

（2）如图2，过点P作PG⊥EF交BC于点G，∠EPG=90°，
∵∠BPC=90°，
∴∠EPB+∠BPG=90°，
∵∠BPG+∠CPG=90°，
∴∠EPB=∠CPG，
同理，∵∠EBP+∠PBC=90°，∠PBC+∠BCP=90°，
∴∠EBP=∠BCP，
∴△EPB∽△GPC，
∵PC=2PB，
∴=（）2=
∴S△GPC=4S△EPB，
同理可得S△FPC=4S△GPB，
∵S△PBG+S△PGC=S△BPC，
∴16S△PBE+S△PFC=4S△BPC；

（3）如图3，设正方形的边长为a（a＞0），
∵∠BPC=90°，PC=2PB，S△BPC=80，
∴••=80，解得a=20，
由（2）知，△EPB∽△GPC，
∴CG=2BE=12，
∴BG=8，
∴CF=16，DF=4，
过点P作PM∥AB交BC于点M．交AD于点H，过点P作PT⊥CD于T，
∵PM⊥BC，BC=20，S△BPC=80，
∴PM=8，
∴PH=12，PT=16，FT=8，
∵∠PQF=90°，
∴由勾股定理得，（HQ2+HP2）+（DQ2+DF2）=PT2+TF2，即（16-DQ）2+122+（DQ2+42）=162+82，解得DQ=4或DQ=12，
当DQ=4时，
∵DQ=DF=4，∠PQF=90°，DN为∠QDF的角平分线，
∴DN=QD=2；
当DQ=12时，过点N作NN1⊥QD于N1，
∵∠QOF=90°，DN为∠QDF的角平分线，
∴∠QDN=45°，
∵NN1⊥AD，
∴NN1=N1D，△QDF∽△QN1N，
∴=，=，解得NN1=3，
∴DN===3，
综上所述，DN=2或3．
故答案为：S△PBE+S△PCF=S△BPC．